02.数量关系之方法精讲

一、代入排除法（题型，选项）

• 题型：年龄问题、多位数问题、余数问题、不定方程问题，优先考虑排除代入
• 选项：
  1. 选项信息充分，基选项带入后，可以验证题目所有条件
  2. 剩二代一，必得答案

1.1 题型解析

1.1.1年龄问题

• 识别：题干涉及年龄
• 常识：结婚生子的年龄，必须符合法定年龄（男子不得早于22周岁，女子不得早于20周岁）

1.1.2多位数问题

• 识别：研究数位上数字之间的关系
• 常识：位数对调往往是考察的重点

1.1.3余数问题

• 识别：题干出现“剩”，“余”字样

1.1.4不定方程

• 识别：列式法线，未知数个数>方程个数，无法求解

1.1.5选项信息充分

• 识别：即选项代入后，可以验证题目的所有条件，一般问法中有“分别”、“各”的字样

1.2方法

• 先排除（数字特性：尾数、倍数、奇偶、大小），再代入（从简、最值）
• 从简
  1. 简单条件
  2. 简单选项
• 最值：
  1. 问最大最小，先从最大的选项开始
  2. 问最小多少，先从最小的选项开始

温馨提示

​ 代入过程中，遇到不符合题意就排除，满足题目所有要求的就选择

二、倍数特性法

• 整除的基础知识：
  1. 若A=B*C，B、C均为整数，则A是B的整数倍，也是C的整数倍
  2. 若A是B的整数倍，A是C的整数倍，则A是B*C的整数倍（B、C互质）

2.1整除型（平均分配）

• 识别：问题、题干中，存在平均分配（整数倍）
• 方法：优先利用倍数特性分析

2.2余数型

• 识别：平均分配后，有多有少
• 方法：转化成“整数”—>多几个，减掉；少几个，加上，俗称：“多退少补”

2.3比例型

• 识别：出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性
• 方法：
  1. 看问法——直接看问题的主体
  2. 化比例——找和其他相关的比例
  3. 验选项——通过倍数验证选项

温馨提示

• 和差倍的题
  • 给比例——求比例—>赋值
  • 给比例——求具体的值—>倍数—>方程

2.4化比例

$$\frac{A}{B}=\frac{M}{N}\text{(M,N最简比)，则A为M的倍数，B为N的倍数，A}\pm B\text{为M}\pm N\text{倍数}$$

• 简记：
  • 谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多—>加、少—>减

三、方程法

3.1普通方程设未知数的技巧

1. 设小不设大—>避免分数计算
2. 设比例数—>避免分数计算
3. 设关联多的—>方便列式
4. 尽量求谁设谁—>避免掉坑

注意

​ 做题时会出现冲突，灵活应对，方便即可

3.2不定方程的解题方法

• 通过列式，得到一个不定方程—>直接考虑数字特性
  • 建议顺序：尾数—>倍数—>奇偶—>代入
• 通过列式得到俩个不定方程—>一定要看所设未知数是否必须为整数
  • 未知数必须为整数时，用消元法，转化成一个不定方程，分析数字特性
  • 未知数不一定为整时，用赋0法，让其中一个未知数为0，解除其他未知数

3.2.1如何看位数？

• 识别：ax+by=M，当a或b的尾数是0或5时，考虑尾数

3.2.2如何看倍数？

• 识别：ax+by=M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特征

3.2.3如何看奇偶？

• 识别：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性

3.3鸡兔同笼（“假设法”巧解方程组）

• 假设法

  1. 求谁，假设都是另一个

  2. $$\text{结果}=\frac{\text{理想与现实的差距}}{\text{标准的差距}}$$

四、工程问题

4.1基础工程（给具体量、给完工时间、给效率比例）

• 工程问题的三量关系：总量=效率*时间（题目中不一般会给）
• 一般工程问题中，都会给出时间，考试形式为：
  1. 给出具体的总量或者效率—>列方程即可
  2. 只给出时间，并且是多个完工时间—>赋值总量
  3. 只给出时间，并且给出效率比例—>赋值效率

4.1.1具体量型（给出总量或效率的具体值）

• 方法：方程法

4.1.2完工时间型（给了俩个及以上的完工时间）

• 方法：
  1. 求总量——最好为完工时间的最小公倍数
  2. 求效率——效率=总量÷时间
  3. 听话做题——根据题目要求完成工作

4.1.3效率比例型（给出效率之间的比例）

• 方法：
  1. 赋效率——最好为比例数
  2. 求总量——总量=效率*时间
  3. 听话做题——根据题目要求完成工作
• 给效率比例的不同形式
  • 直接型：直接给出
  • 间接型：不同工作方式，完成相同的工作总量，可推导效率比例
  • 特殊型：给工作人数，机器台数（效率默认相同）

4.1.4经典题型：牛吃草（核心公式）

• 公式：原有的牧草=（牛吃掉的—长的牧草）×天数
• 牧草=（牛1-草）×天1=（牛2-草）×天2
• 推出公式：

$$\text{草}=\frac{\text{牛1}\times\text{天1}-\text{牛2}\times\text{天2}}{\text{天1-天2}}$$

• 题目特征：
  • 排比句：几头牛吃几天，你头牛吃几天，问：几头牛吃几天？
  • 有增长：牧草在长
  • 有消耗：牛在吃
• 常见于：典型牛吃草，检票口检票，抽水机抽水，资源开采
• 解题步骤：根据现有的总量相同，设每天新增的量为x，列方程，解方程

五、经济利润问题

5.1基础经济

• 公式：
  • 利润=售价-成本=赚的-亏损
  • 利润率=利润÷成本
  • 售价=（1+利润率）×成本
  • 成本=售价÷（1+利润率）
• 方法选择：
  • 给具体价格（售价、成本、利润），求具体价格—>列方程（相对简单）————设未知数—>找等量关系（利润=售价-成本）—>列方程、解方程
  • 给比例（折扣、利润率），求比例—>赋值法（相对较难）————常赋值成本，原价为10、100好算的数

5.2分段计价

• 识别：水电费、出租车费、税费等，不同阶段计费标准不一样
• 方法：
  1. 找到分段点
  2. 分别计算
  3. 汇总加和
• 考法：给总量求费用，给费用求总量

5.3函数最值

• 识别：售价/利润与数量此消彼长，求最值
• 方法：
  1. 设提价/降价次数为x，列式
  2. 式子为0，求x1，x2 ——最值=（x1+x2）÷2
  3. 平均数时，求最值

六、行程问题

6.1基础行程（三量关系）

• 路程=速度×时间
• 一个量不变，另外俩个量存在的正反比关系：
  1. 路程不变，速度与时间成反比
  2. 速度不变，路程与时间成正比
  3. 时间不变，路程与速度成正比

6.1.1火车过桥问题

• 火车完全通过桥走的路程：S=L桥+L车
• 火车完全在桥上走的路程：S=L桥-L车

6.2相对行程（高频考点）

6.2.1直线相遇

• 识别：俩人从俩地相向而行
• 公式：S相遇=(v1+v2)×t时间
• 注意：相遇路程为在相遇过程中俩人走的路程之和

6.2.2直线追及

• 识别：俩人从俩地同向而行
• 公式：S追及=(V大-V小)×t时间
• 注意：追及路程为运动前，俩人原始相距的距离

注意：和牛吃草问题一样

$$\text{草}=\frac{\text{牛1}\times\text{天1}-\text{牛2}\times\text{天2}}{\text{天1-天2}}$$

6.2.3环形相遇

• 识别：环形跑道，同点背向而行
• 公式：S相遇=(v1+v2)×t时间
• 注意：每相遇一次所走的路程和（S相遇）均为环形跑道1圈的距离

6.2.4环形追及

• 识别：环形跑道，同点同向而行
• 公式：S追及=(V大-V小)×t时间
• 注意：每追上一次的（S追及）均为环形跑道一圈的距离

6.2.5直线多次相遇（同端）

• 识别：俩人从同地同向而行，多次相遇
• 公式：S同端相遇=速度之和×t时间=2nS_AB

6.2.6直线多次相遇（俩端）

• 识别：俩人从俩地相向而行，多次相遇
• 公式：S俩端 相遇=速度之和×t时间=(2n-1)S_AB

6.2.7流船行水

• 从上游到下游，V顺水=V船速+V水速

• 从下游到上游，V顺水=V船速-V水速

• 静水中船走的速度=V船速

• 木块在水中漂流的速度=V水速

• $$\text{V顺水}=\text{V船速}+\text{V水速}$$

• $$\text{V逆水}=\text{V船速}-\text{V水速}$$

• $$\text{V船速}=\frac{\text{V顺水}+\text{V逆水}}{2}$$

• $$\text{V水速}=\frac{\text{V顺水}-\text{V逆水}}{2}$$

七、几何问题

7.1基础公式

• 菱形面积=对角线乘积÷2

• 平行四边形=低×高

• 梯形面积=(上底+下底)×高÷2

• $$\text{弧长公式}=2\pi r \times \frac{n\degree}{360\degree}$$

• $$\text{扇形面积公式}=\pi r^2 \times \frac{n\degree}{360\degree}$$

• 正方形：表面积=2×(ab+bc+ac)；体积=abc

• 圆柱体：表面积=2πr^2+2πrh； 体积=底面积×高

• 锥形：体积=底面积×高÷3

7.2三角形

• 三角形（44

贝多芬

• 常见勾股定理： 1. 3、4、5 2. 6、8、10 3. 5、12、13
• 常见三角形特殊三边关系
  1. 30度三角形：1:2:√3
  2. 45度三角形：1:1:√2
  3. 120度三角形：1:1:√3
• 猜题意识：如果不会做，遇到30、60、120度猜√3；遇到45度猜√2

7.3常考结论

• 相似比：长度比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方
• 均值定理：a+b为定值，a=b，a×b最大；a×b为定值，a=b，a+b最小
• 最短路径（平面）：俩点同侧—>求在直线一点到同侧的俩点的距离之和最短——将其中一点镜像对称，与另外一点连线，使三点共线
• 最短路径（立体）：求立体图形表上的俩点的最短距离——将立体图形展开放在同一平面，连线计算

八、排列组合

8.1基础概念

• 排列（A）：与顺序有关（不可互换）——组内互换有影响，用A

$$A_{n}^{m}=n\times\text{...m个...}\times(n-m)$$

• 组合（C）：与顺序无关（可以互换）——组内互换无影响，用C

$$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$$

• 分类：用加法，要么......要么......（“或”的关系，多者选其一）
• 分步：用乘法，既......又......（“且”的关系，同时满足）
• 先进行全面分析（分类），再逐一（分步）完成工作

8.2经典题型

8.2.1枚举法

• 特征：题干要求凑特定的数字，或者选项情况数较少
• 方法：从大到小，依照次序，不重不漏

8.2.2捆绑法

• 特征：必须捆绑在一起
• 方法：
  • 先捆：把相邻的元素捆绑在一起，注意内部有无顺序
  • 再排：将捆绑后的看成一个整体，再进行排列

8.2.3插空法

• 特征：不能相邻
• 方法：
  • 先排：先安排相邻的元素，形成若干空位
  • 再插：将不相邻的元素插到空位中

8.2.4隔板法

• 特征：N个相同的元素，分给M个不同的主体，要求每个主体至少分得一个
• 方法：
  1. N个元素有N-1个空位，分M堆需要M-1个板子
  2. 至少分一个共有

$$C_{N-1}^{M-1}$$

8.2.4隔板法（变形）

• 特征：N个相同的元素，分给M个不同的主体，要求每个主体至少分得L个
• 方法：
  1. N个元素有N-1个空位，分M堆需要M-1个板子
  2. 至少分L个共有

$$C_{M-N\times L-1}^{N-1}$$

九、概率问题

9.1已知情况求概率

• 公式：概率=满足/全部
• 注意：正难则反，满足概率=1-不满足概率

9.2已知概率求概率

• 方法：分类相加，分步相乘

十、容斥原理问题

10.1俩集合

$$\text{总数}=A+B+\text{都不}-A\cap B$$

10.2三集合标准公式

• 特征：分别给出俩俩交集

$$\text{总数}=A+B+C+\text{都不}-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$$

10.3三集合非标准公式

• 特征：统一给出只满足俩者

$$\text{总数}=A+B+C+\text{都不}-\text{满足俩项}-2\times\text{满足三项}$$

拓展 多集合反向构造（求交集最小）

• 识别：都......至少......
• 无脑公式：

$$(A\cap B)\text{最小}=A+B-\text{全部}\\ (A\cap B\cap C)\text{最小}=A+B+C-2\text{全部}\\ (A\cap B\cap C\cap D)\text{最小}=A+B+C+D-3\text{全部}\\ ......$$

10.4方法选择

10.4.1公式法

• 特征：题目中所给、所求的都是公式中的一部分

10.4.2画图法

• 特征：出现“只A"
• 步骤：
  1. 画图
  2. 标数字（从交集标、不重不漏）
  3. 加和求解